Question

20．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ$＜\frac{π}{2}）$的圖象過點$P（\frac{π}{3}，0）$，圖象上與點P最近的一個頂點是$Q（\frac{7π}{12}，-1）$．
（I）求函數(shù)的解析式；并用“五點法”在給定的坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）一個周期的簡圖；
（II）求函數(shù)f（x）的增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（II）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即可解得函數(shù)的增區(qū)間．

解答 解：（I）依題意得$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=2…（1分）
又由頂點Q的坐標(biāo)可知A=1，
故f（x）=sin（2x+φ）
把點Q代入f（x）=sin（2x+φ）得sin（2×$\frac{7π}{12}$+φ）=1，∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$
故φ=$\frac{π}{3}$…（3分）
從而f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（4分）
下面用“五點法”在給定的坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)F（X）一個周期的簡圖，列表如下：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	1	0	-1	0

…（6分）
描點作圖，得到函數(shù)f（x）一個周期的簡圖

…（8分）
（II）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$…（9分）
得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）．…（11分）
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．
…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．