Question

5．已知雙曲線$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$滿足條件：（1）焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；（2）離心率為$\frac{5}{3}$，求得雙曲線C的方程為f（x，y）=0．若去掉條件（2），另加一個(gè)條件求得雙曲線C的方程仍為f（x，y）=0，則下列四個(gè)條件中，①雙曲線$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上的任意點(diǎn)P都滿足||PF₁|-|PF₂||=6；②雙曲線$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的虛軸長(zhǎng)為4；③雙曲線$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y²=6x的焦點(diǎn)重合；④雙曲線$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的漸近線方程為3x+4y=0．符合添加的條件共有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用已知條件求出雙曲線方程，然后通過(guò)其它體積求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可判斷選項(xiàng)．

解答 解：對(duì)于①，∵||PF₁|-|PF₂||=2a=6，∴a=3 
又∵焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），∴c=5
∴離心率e=$\frac{5}{3}$，故①符合條件；
對(duì)于②，雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為4，∴b=2，a=$\sqrt{21}$
∴離心率e=$\frac{5}{\sqrt{21}}$，故②不符合條件；
對(duì)于③，雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y²=6x的焦點(diǎn)重合，
∴a=$\frac{3}{2}$，e=$\frac{10}{3}$，故③不符合條件；
對(duì)于④，∵漸近線方程為3x+4y=0 
∴$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
又∵c=5，c²=a²+b²，∴a=4
∴離心率e=$\frac{5}{4}$，故④不符合條件．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題．