Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的兩條切線方程y=±$\frac{1}{2}$（x-4），切點分別為A、B，且切線與x軸的交點為T．
（1）求a的值；
（2）過T的直線l與橢圓C交于M，N兩點，與AB交于點D，求證：$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$為定值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{1}{2}（x-4）}\\{3{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-3{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，得（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）x²-2a²x+a²=0，直線與橢圓相切，利用的判別式能求出a．
（2）T（4，0），設直線l的方程為x=my+4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去x，得（3m²+4）y²+24my+4m²+36=0，由此利用韋達定理、相似形性質，結合已知條件能證明$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$為定值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的兩條切線方程y=±$\frac{1}{2}$（x-4）
∴聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{1}{2}（x-4）}\\{3{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-3{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，消去y并化簡，得（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）x²-2a²x+a²=0，
∵直線與橢圓相切，
∴△=4a⁴-4（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）a²=3a⁴-12a²=0，
由a＞0，解得a=2．
證明：（2）由（1）得T（4，0），
不妨設直線l的方程為x=my+4，由題意得m≠0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去x，得（3m²+4）y²+24my+4m²+36=0，
由根與系數(shù)的關系，得${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
又切點的橫坐標應滿足方程（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）x²-2a²x+a²=0，即4x²-8x+4=0，
即x_A=x_B=1，∴直線AB的方程為x=1．
當直線l與x軸重合時，|TD|=3，|TM|=2，|TN|=6，
∴$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$=$\frac{3}{2}+\frac{3}{6}=2$為定值；
當直線l與x軸不重合時，m≠0，則點D（1，-$\frac{3}{m}$），
根據(jù)相似形，得$\frac{|TD|}{|TM|}$=$\frac{|{y}_{0}-{y}_{T}|}{|{y}_{M}-{y}_{T}|}$=$\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{1}|}$，$\frac{|TD|}{|TN|}$=$\frac{|{y}_{D}-{y}_{T}|}{|{y}_{N}-{y}_{T}|}$=$\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{2}|}$，
∴$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$=$\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{1}|}+\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{D}|•|{y}_{1}+{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$（y₁，y₂同號）
=$\frac{|-\frac{3}{m}|•|-\frac{24m}{3{m}^{2}+4}|}{|\frac{36}{3{m}^{2}+4}|}$=2為定值．
∴$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$為定值2．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查代數(shù)式和為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、直線與橢圓相切、韋達定理的合理運用．