Question

5．已知直線l：y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$（k∈R）與雙曲線C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{{12-{a^2}}}$=1的右支有兩個不同的交點，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，由題意可得已知直線的斜率大于漸近線斜率，再由離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{{12-{a^2}}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{12-{a}^{2}}}{2}$x，
直線l：y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$（k∈R）與雙曲線C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{{12-{a^2}}}$=1的右支有兩個不同的交點，
可得$\sqrt{3}$＞$\frac{\sqrt{12-{a}^{2}}}{2}$，解得-2$\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{16-{a}^{2}}}{2}$＜$\frac{4}{2}$=2，
由e＞1可得e的范圍是（1，2）．
故答案為：（1，2）．

點評 本題以雙曲線為載體，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．在求離心率的范圍時，注意雙曲線的離心率大于1．