Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象在與x軸交點處切線方程是y=5x-10
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{3}$mx，若函數(shù)g（x）存在極值，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（2）=0和f′（2）=5可得關于b，c的兩個方程，解出b，c即可．
（2）轉化為g′（x）=0有實根．根據(jù)判別式求出對應的根，再進行驗證即可．

解答 解：（1）由已知，切點為（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
聯(lián)立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函數(shù)解析式為f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+$\frac{1}{3}$mx，
g′（x）=3x²-4x+1+$\frac{m}{3}$，令g′（x）=0．
當函數(shù)有極值時，△≥0，方程3x²-4x+1+$\frac{m}{3}$=0有實根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①當m=1時，g′（x）=0有實根x=$\frac{2}{3}$，在x=$\frac{2}{3}$左右兩側均有g′（x）＞0，故函數(shù)g（x）無極值．
②當m＜1時，g′（x）=0有兩個實根，
x₁=$\frac{1}{3}$（2-$\sqrt{1-m}$），x₂=$\frac{1}{3}$（2+$\sqrt{1-m}$），
當x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		極大值		極小值

故在m∈（-∞，1）時，函數(shù)g（x）有極值．

點評 本題考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．