Question

【題目】如圖,在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面.

（1）在圖中畫(huà)出過(guò)點(diǎn)的平面，使得平面（必須說(shuō)明畫(huà)法，不需證明）；

（2）若二面角是，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)利用面面平行的判定定理作出平面;(2)以為原點(diǎn), 所在的直線分別為軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,方法一是設(shè),寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),將與平面的角轉(zhuǎn)化為與平面的角,由面與面所成的角為,求出,再求出與平面所成的角.方法二是設(shè),寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)平面的法向量,由 ,求出的一個(gè)坐標(biāo),再根據(jù)已知二面角,求出,再求出與平面所成的角.

試題解析:（1）如圖所示，分別取的中點(diǎn)，連接，四邊形所確定的平面為平面.

（2）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，

∵四邊形為矩形， 分別為的中點(diǎn)，

∴.

因?yàn)槠矫?/span>平面，∴平面，∴平面.因?yàn)?/span>為菱形，即.

以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

方法一：因?yàn)槠矫?/span>平面，所以與平面所成的角可以轉(zhuǎn)化為與平面所成的角，則平面與平面所成角為.

設(shè)，則， ， ， ， ， ，設(shè)平面的法向量為，

，令，得.易看出是平面的一個(gè)法向量，依題得，解得.

∴，又，∴.

方法二：設(shè)，則， ， ，所以， .

設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由平面，得平面的法向量為，則，所以.又， ，∴.

∴與平面所成角的正弦值為.