Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，設(shè)離心率為e，且滿(mǎn)足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)，解得c值，即可得橢圓的方程；

（Ⅱ）聯(lián)立l與橢圓C的方程，得,

得， ．所以，又O到l的距離．所以△OMN的面積求最值即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為c，則|OF| = c，|OA| = a，|AF| = ．

所以，其中，又，聯(lián)立解得， ．

所以橢圓C的方程是．

（Ⅱ）由題意直線(xiàn)不能與x軸垂直，否則將無(wú)法構(gòu)成三角形．

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其斜率為k，那么l的方程為．

聯(lián)立l與橢圓C的方程，消去y，得．

于是直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是Δ=，這顯然大于0．

設(shè)點(diǎn)， ．

由根與系數(shù)的關(guān)系得， ．所以，又O到l的距離．

所以△OMN的面積． ，那么，當(dāng)且僅當(dāng)t = 3時(shí)取等．

所以△OMN面積的最大值是．

點(diǎn)睛:本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線(xiàn)的方程是一次的，圓錐曲線(xiàn)的方程是二次的，故直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．