Question

設(shè)數(shù)滿足：.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，且對任意的正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先令求出的值，然后令，由得到
，將兩式相減得到，利用定義法證明數(shù)列是
等比數(shù)列；（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而確定數(shù)列的通項公式，將不等式
轉(zhuǎn)化為，利用作差法研究數(shù)列的單調(diào)性，確定數(shù)列的最大項的值，
從而解出相應(yīng)的不等式即可.
（1）當(dāng)時，則有，解得，
當(dāng)且時，，
，
上式下式，得，所以，
故，且
因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
因此；
（2），對任意的正整數(shù)恒成立，則，
，
當(dāng)且時，，即，因此，
當(dāng)時，則，則有，
當(dāng)且時，，即，則數(shù)列從第四項開始單調(diào)遞減，
因此，或最大，，
所以，即，解得或，
因此實數(shù)的取值范圍是.