Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)是2，D是側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大�。�
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為45°，我們要求正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)，關(guān)鍵是要找出AD在側(cè)面BB₁C₁C上的射影，然后求出A點(diǎn)到側(cè)面BB₁C₁C的距離，分析易得△ABC中BC邊的中線AE，即為A點(diǎn)到側(cè)面BB₁C₁C的距離，求出AE后，我們易求出AD的長(zhǎng)，解三角形ACD可求出CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)D為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，進(jìn)而可以求出三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（2）過(guò)E作EF⊥BD于F，連接AF后，我們結(jié)合（1）的結(jié)論可得EF即為AF在側(cè)面BB₁C₁C上的射影，由三垂線定理，我們易得∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，解三角形AEF后，即可求解；
（3）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，則平面AEF⊥平面ABD，且交線為AF，過(guò)E作EG⊥AF于G，則EG⊥平面ABD．EG的長(zhǎng)為點(diǎn)E到平面ABD的距離．解三角形AEF可以求出EG的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)C到平面ABD的距離．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為x．取BC中點(diǎn)E，連接AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥側(cè)面BB₁C₁C，
且兩平面交線為BC，
∴AE⊥側(cè)面BB₁C₁C．
連接ED，則∠ADE為直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，，解得．
∴此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為．
（Ⅱ）過(guò)E作EF⊥BD于F，連接AF．
∵AE⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴EF是AF在平面BCD內(nèi)的射影．
由三垂線定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
，
∴．
又，
∴在Rt△AEF中，．
故二面角A-BD-C的大小為arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交線為AF，
過(guò)E作EG⊥AF于G，則EG⊥平面ABD．
∴EG的長(zhǎng)為點(diǎn)E到平面ABD的距離．
在Rt△AEF中，．
∵E為BC中點(diǎn)，∴點(diǎn)C到平面ABD的距離為．
點(diǎn)評(píng)：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，通過(guò)解∠AFE所在的三角形求得∠AFE．其解題過(guò)程為：作∠AFE→證∠AFE是二面角的平面角→計(jì)算∠AFE，簡(jiǎn)記為“作、證、算”．