Question

20．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=sinθ（-$\frac{π}{2}$≤θ≤$\frac{π}{2}$），a₅=a₃+1，且其前10項(xiàng)和S₁₀=$\frac{55}{2}$．
（1）求θ的值；
（2）求數(shù)列b_n=a_n+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{2{a}_{n}}$的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）通過a₅=a₃+1可知d=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而結(jié)合S₁₀=$\frac{55}{2}$可知a₁=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性可知θ的值為$\frac{π}{6}$；
（2）通過（1）可知a_n=$\frac{n}{2}$，b_n=$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由a₅=a₃+1可知1=a₅-a₃=2d，即d=$\frac{1}{2}$，
由S₁₀=$\frac{55}{2}$=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×$\frac{1}{2}$可知a₁=$\frac{1}{2}$，
又a₁=sinθ（-$\frac{π}{2}$≤θ≤$\frac{π}{2}$），
所以θ的值為$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{n}{2}$，b_n=a_n+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{2{a}_{n}}$=$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以所求值為$\frac{1}{2}$×$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n（n+1）}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查三角函數(shù)的單調(diào)性及求值，考查分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．