Question

9．在如圖所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁B₁B和面AA₁C₁C都是邊長為1的正方形且互相垂直，D為AA₁的中點，E為BC₁的中點．
（Ⅰ）證明：DE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求平面C₁BD和平面CBD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過E作EF∥BC交BC于F，可得EF為△BB₁C₁ 的中位線，結(jié)合已知可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，則四邊形DA₁FE為平行四邊形，得DE∥A₁F，由線面平行的判定可得DE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）由題意可得AC⊥平面AA₁B₁B，則AC⊥BC．分別以BA、AD、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，得到平面C₁BD和平面CBD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面C₁BD和平面CBD所成的角（銳角）的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，過E作EF∥BC交BC于F，
∵E為BC₁的中點，∴EF為△BB₁C₁ 的中位線，則EF=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，
又D為AA₁中點，∴D${A}_{1}=\frac{1}{2}A{A}_{1}$，
∵四邊形AA₁B₁B為正方形，∴EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四邊形DA₁FE為平行四邊形，則DE∥A₁F，
∵DE?平面A₁B₁C₁，A₁F?平面A₁B₁C₁，
∴DE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）解：∵AA₁C₁C是正方形，∴AC⊥AA₁，
又平面AA₁B₁B⊥平面AA₁C₁C，且平面AA₁B₁B⊥平面AA₁C₁C，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，則AC⊥BC．
分別以BA、AD、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，1），D（0，$\frac{1}{2}$，0），B（-1，0，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{BD}=（1，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（1，1，1）$．
設(shè)平面BCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+z=0}\end{array}\right.$，令y=2，得$\overrightarrow{m}=（-1，2，1）$；
設(shè)平面C₁BD的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=x+y+z=0}\end{array}\right.$，令y=2，得$\overrightarrow{n}=（-1，2，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{4}{\sqrt{1+4+1}×\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{3}$．
∴平面C₁BD和平面CBD所成的角（銳角）的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．