Question

在棱長為1的正方體的表面上任取4個點構(gòu)成一個三棱錐，則這個三棱錐體積的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  6

  ]
• B、（0，

  1

  3

  ]
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（0，1）

Answer 1

分析：在棱長為1的正方體的表面上任取4個點構(gòu)成一個三棱錐，其體積的下界為0，要使三棱錐的體積最大，則這四個點一定得最在正方體的頂點處，分別討論上下兩個底面各取兩個點和一個底面三個點，另一個底面一個點時，棱錐的體積，即可得到棱錐的最大值，進而得到答案．

解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)三棱錐的底面為α．
在正方體的表面上，離三棱錐底面α最遠的點，一定可以在正方體的頂點處取得．此時，三棱錐的體積最大．固定住這個點，以這個點為三棱錐底面的一個點，則三棱錐的頂點一定可以在正方體的頂點處取得，同理，三棱錐體積最大時，三個頂點必在正方體的頂點處取得．
故正方體8個頂點中四個頂點形成三棱錐的體積最大的那個即為所求．
由于三棱錐四個頂點不共面，故在面ABCD和面A₁B₁C₁D₁中，分別可能有三棱錐的（1，3），（2，2），（3，1）個頂點，其中（1，3）和（3，1）是對稱的．
故只需討論（3，1）和（2，2）的情形．
若為（3，1），在底面，不妨取A、B、D頂點可為A₁、B₁、C₁、D₁，三棱錐體積都為V=

1

3

•S△ABD•h=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，

若為（2，2）
則在底面可取A、B或A、C．
若為A、B，頂面可�。ˋ₁，C₁），（A₁，D₁），三棱錐體積V=

1

3

S•h=

1

6

．

若為A、C，則頂點可取B₁D₁此時
VD-ACD1=VD1-ACD∴

1

3

×

3

4

×

2

2•h=

1

3

×

1

2

×1×1×1∴h=

3

3

∴hB1-ACD1=B1D-h=

2 3

3

V=

1

3

S△ACD1•hB1-ACD1=

1

3

•

3

4

•(

2

)2

2 3

3

=

1

3

故選B．

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征得到三棱錐的體積最大時，這四個點一定得最在正方體的頂點處，進而簡單分類討論的種類是解答本題的關(guān)鍵．