Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，數(shù)列{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足a₆=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）=-a₁，則a₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，可得f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=0，f（1）=0．根據(jù)數(shù)列{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足a₆=1，可得a₂a₁₀=a₃a₉=a₄a₈=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，代入化簡即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-x=0，f（1）=0．
數(shù)列{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足a₆=1，
∴a₂a₁₀=a₃a₉=a₄a₈=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）
=f（a₁）+f（a₆）
=${a}_{1}-\frac{1}{{a}_{1}}$=-a₁，a₁＞0．
則a₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．