Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．
（1）若f（x）在x= 處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0 ， 證明f′（x0）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx，

則 ．

又∵f（x）的圖象在x= 處的切線與直線4x+y=0平行，

∴ ，即4a× + ×（a+4）+1=﹣1，

解得 a=﹣6．

（2）解：由（1）得， ，

由題知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），

由x＞0，得 ＞0．

①當(dāng)a≥0時，對任意x＞0，f′（x）＞0，

∴此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．

②當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0，解得 ，

當(dāng) 時，f′（x）＞0，當(dāng) 時，f′（x）＜0，

此時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0， ），單調(diào)遞減區(qū)間為（ ，+∞）．

（3）解：不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，由（Ⅱ）知 a＜0，

于是要證f'（x）＜0成立，只需證： 即 ．

∵ ，①

，②

①﹣②得 ，

即 ，

∴ ，

故只需證 ，

即證明 ，

即證明 ，變形為 ，

設(shè) （0＜t＜1），令 ，

則 = ，

顯然當(dāng)t＞0時，g′（t）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，g′（t）=0，

∴g（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

又∵g（1）=0，

∴當(dāng)t∈（0，1）時，g（t）＜0總成立，命題得證

【解析】（1）利用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)并化簡，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題意可得f′（ ）=﹣4，解出a的值即可；（2）對導(dǎo)數(shù)因式分解后，再求出函數(shù)f（x）的定義域，然后在定義域內(nèi)分a≥0，a＜0兩種情況，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)出函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用分析法和根據(jù)（2）結(jié)論進(jìn)行證明，根據(jù)要證明的結(jié)論和分析的過程，利用放縮法、換元法、構(gòu)造函數(shù)法解答，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．