【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.
(1)若f(x)在x= 處的切線與直線4x+y=0平行,求a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0 , 證明f′(x0)<0.

【答案】
(1)解:由題知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx,

又∵f(x)的圖象在x= 處的切線與直線4x+y=0平行,

,即4a× + ×(a+4)+1=﹣1,

解得 a=﹣6.


(2)解:由(1)得,

由題知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定義域?yàn)椋?,+∞),

由x>0,得 >0.

①當(dāng)a≥0時,對任意x>0,f′(x)>0,

∴此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

②當(dāng)a<0時,令f′(x)=0,解得 ,

當(dāng) 時,f′(x)>0,當(dāng) 時,f′(x)<0,

此時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ),單調(diào)遞減區(qū)間為( ,+∞).


(3)解:不妨設(shè)A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,由(Ⅱ)知 a<0,

于是要證f'(x)<0成立,只需證:

,①

,②

①﹣②得 ,

,

故只需證 ,

即證明 ,

即證明 ,變形為 ,

設(shè) (0<t<1),令 ,

=

顯然當(dāng)t>0時,g′(t)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時,g′(t)=0,

∴g(t)在(0,+∞)上是增函數(shù).

又∵g(1)=0,

∴當(dāng)t∈(0,1)時,g(t)<0總成立,命題得證


【解析】(1)利用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)并化簡,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題意可得f′( )=﹣4,解出a的值即可;(2)對導(dǎo)數(shù)因式分解后,再求出函數(shù)f(x)的定義域,然后在定義域內(nèi)分a≥0,a<0兩種情況,解不等式f′(x)>0,f′(x)<0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)出函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用分析法和根據(jù)(2)結(jié)論進(jìn)行證明,根據(jù)要證明的結(jié)論和分析的過程,利用放縮法、換元法、構(gòu)造函數(shù)法解答,再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值,即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知a>0,a≠1,設(shè)p:函數(shù)y=loga(x+3)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,q:函數(shù)yx2+(2a-3)x+1的圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn).如果pq真,pq假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

判斷的奇偶性.

寫出的單調(diào)區(qū)間(只需寫出結(jié)果).

若方程有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面推理過程中使用了類比推理方法,其中推理正確的是( )

A. 平面內(nèi)的三條直線,若,則.類比推出:空間中的三條直線,若,則

B. 平面內(nèi)的三條直線,若,則.類比推出:空間中的三條向量,若,則

C. 在平面內(nèi),若兩個正三角形的邊長的比為,則它們的面積比為.類比推出:在空間中,若兩個正四面體的棱長的比為,則它們的體積比為

D. ,則復(fù)數(shù).類比推理:,則

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng) ,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若一系列函數(shù)的解析式和值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,例如函數(shù)與函數(shù)為“同族函數(shù)”.下面函數(shù)解析式中能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的是(

A.B.C.

D.E.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列且,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列n項(xiàng)和為,若不等式對任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值是_______

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從6名短跑運(yùn)動員中選出4人參加4×100 m接力賽.試求滿足下列條件的參賽方案各有多少種?(用數(shù)字作答)

(1)甲不能跑第一棒和第四棒;(2)甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案