Question

已知橢圓C:的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)M(2，0)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A和B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足·（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時，求實(shí)數(shù)t取值范圍。

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用圓心到直線的距離等于短半軸長及離心率為建立方程，解方程即可求出橢圓C的方程；（2）可以設(shè)直線：與橢圓方程聯(lián)立，得到方程，然后結(jié)合題目條件滿足·（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，利用判別式及韋達(dá)定理建立不等式，可以求出t的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) 由題意知，短半軸長為：， 1分

∵，∴，

即，∴， 2分

故橢圓的方程為：. 3分

（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線：， 4分

設(shè)，，，

由得，. 5分

，解得. 6分

.

∵，∴，解得，. 7分

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，

∴. 8分

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴ 10分

∴，∵，∴，

∴或，

∴實(shí)數(shù)取值范圍為. 12分

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）向量在解析幾何在的應(yīng)用；（3）直線與圓錐曲線的問題.