Question

定義數(shù)列，（例如時，）滿足，且當(dāng)（）時，.令．
（1）寫出數(shù)列的所有可能的情況；（5分）
（2）設(shè)，求（用的代數(shù)式來表示）；（5分）
（3）求的最大值.（6分）

Answer 1

（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：
（1）；     （2）；
（3）；    （4）；
（5）；      （6）；
2個起評，對2個1分，3個2分，4個3分，5個4分，6個5分
（2）
．
（3）的最大值為．

解析試題分析：（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：
（1）；     （2）；
（3）；    （4）；
（5）；      （6）；
2個起評，對2個1分，3個2分，4個3分，5個4分，6個5分
（2），由，
則或（，），            6分
，
，
…
，
所以．                       7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a2/0/19vjb3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，且為奇數(shù)，        8分
是由個1和個構(gòu)成的數(shù)列．            9分
所以
．                 10分
（3）
則當(dāng)的前項(xiàng)取，后項(xiàng)取時最大，  12分
此時14分
證明如下：
假設(shè)的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則
的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，其中，，，．
所以     ．             

 
．    16分
所以的最大值為．                
考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式，疊加法，應(yīng)用不等式求最值。
點(diǎn)評：綜合題，新定義數(shù)列問題，利用“疊加法”求得，對考查考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力起到了很好的作用。本題較難。