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在數列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表達式,并加以證明;
(Ⅱ)設,求證:對任意的自然數都有.

(Ⅰ) (Ⅱ)
所以
所以只需要證明
(顯然成立)
所以對任意的自然數,都有

解析試題分析:(1)容易求得:,           (1分)
故可以猜想, 下面利用數學歸納法加以證明:
顯然當時,結論成立, 2分)
假設當;時(也可以),結論也成立,即
,(3分)
那么當時,由題設與歸納假設可知:
(5分)
即當時,結論也成立,綜上,對,成立。
(2)
所以
 
所以只需要證明
(顯然成立)
所以對任意的自然數,都有-------(12分)
考點:數列通項公式的證明及數列求和
點評:本題應用數學歸納法證明通項公式,數學歸納法用來證明與正整數有關的命題,第一步先證明n取最小值時成立,第二步假設時命題成立,借此來證明時命題成立,綜上一二兩步可得命題成立

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知a、b、c成等差數列且公差,求證:、、不可能成等差數列

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列中, ,).
(1)計算,;
(2)猜想數列的通項公式并用數學歸納法證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列{an}中,a2=1,前n項和為Sn,且
(1)求a1,a3;
(2)求證:數列{an}為等差數列,并寫出其通項公式;
(3)設,試問是否存在正整數p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比數列?若存在,求出所有滿足條件的數組(p,q);若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列{}的前項和為  
(1)求證:數列是等比數列;
(2)設數列{}的前項和為,求 。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

數列{}中,a1=3,,
(1)求a1、a2、a3、a4;
(2)用合情推理猜測關于n的表達式(不用證明);
(3)用合情推理猜測{}是什么類型的數列并證明;
(4)求{}的前n項的和。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知點(1,)是函數)的圖象上一點,等比數列的前項和為,數列的首項為,且前項和滿足).
(1)求數列的通項公式;
(2)若數列{項和為,問>的最小正整數是多少?

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

(滿分13分)已知各項均為正數的數列是數列的前n項和,對任意,有2Sn=2
(Ⅰ)求常數p的值; 
(Ⅱ)求數列的通項公式;
(Ⅲ)記,()若數列從第二項起每一項都比它的前一項大,求的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

定義數列,(例如時,)滿足,且當)時,.令
(1)寫出數列的所有可能的情況;(5分)
(2)設,求(用的代數式來表示);(5分)
(3)求的最大值.(6分)

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