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已知動圓經過點，且與圓內切.

（Ⅰ）求動圓的圓心的軌跡的方程.

（Ⅱ）以為方向向量的直線交曲線于不同的兩點，在曲線上是否存在點使四邊形為平行四邊形（為坐標原點）.若存在，求出所有的點的坐標與直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:（Ⅰ）依題意，動圓與定圓相內切，得|，可知到兩個定點、的距離和為常數，并且常數大于，所以點的軌跡為橢圓，……………2分

可以求得，，，

所以曲線的方程為．……………………………………………5分

（Ⅱ）假設上存在點，使四邊形為平行四邊形．

由 （Ⅰ）可知曲線E的方程為.

設直線的方程為，，.

由，得，

由得，且，，………………………7分

則，

，

　　  上的點使四邊形為平行四邊形的充要條件是，

即， 且，

又， ，所以可得，…………9分

可得，即或．

當時，，直線方程為；

當時，，直線方程為．……………………12分

 

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（1）求動圓圓心的軌跡方程。

（2）在（1）中的曲線上求一點，使這點到直線的距離最短。

 

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