Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得BF⊥AE，CB⊥AE，由此能證明AE⊥平面BCE．
（Ⅱ）設(shè)D到平面ACE的距離為h，由V_D-ACE=V_E-ACD，能求出點(diǎn)D到平面ACE的距離．
（Ⅲ）作BO⊥AC于O，連接OF，則∠BOF=θ為所求二面角的平面角，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，（1分）
∵二面角D-AB-E為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE．（3分）
∴CB⊥AE，又CB∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）解：過點(diǎn)E作EP⊥AB，交AB于點(diǎn)P，PE=1．（5分）
∵二面角D-AB-E為直二面角，∴EP⊥平面ABCD．（6分）
設(shè)D到平面ACE的距離為h，
∵V_D-ACE=V_E-ACD，
∴

1

3

S△ACE•h=

1

3

S△ACD•EP，（7分）
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC，
∴h=

1 2 ×2×2×1

1 2 2 × 6

=

2 3

3

，（8分）
∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為

2 3

3

．（9分）
（Ⅲ）解：作BO⊥AC于O，連接OF，則∠BOF=θ為所求二面角的平面角．（10分）
且BF⊥OF，COSθ=

OF

OB

，（11分）
在等腰直角三角形ABC中，O為AC中點(diǎn)，
OB=0.5AC=

2

，OC=

2

，CE=

6

．（12分）
由△COF∽△CEA，知

OF

AE

=

OC

CE

，OF=

OC

CE

•AE=

6

3

，（13分）
故COSθ=

OF

OB

=

3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查AE⊥平面BCE的證明，考查點(diǎn)D到平面ACE的距離的求法，考查二面角E-AC-B的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．