Question

17．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)x∈（-1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{1+x}$，f（1）=ln2-1，k=f′（1）=0，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{a（{x+1}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{x-（{a-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)f（x）≥0恒成立．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{1+x}$，f（1）=ln2-1，…（1分），
${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{2（{x+1}）-2x}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x-1}{{{{（{1+x}）}^2}}}$，…（2分）
∴k=f′（1）=0，…（3分）
∴切線方程為y=ln2-1．…（4分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{a（{x+1}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{x-（{a-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．
①當(dāng)a≤0時(shí)，a-1≤-1，又x∈（-1，+∞），
∴x-（a-1）＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，…（6分）
又∵f（0）=0，∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0，與題意不符．…（7分）
②當(dāng)a＞0，令f′（x）=0，得x=a-1＞-1，
且-1＜x＜a-1時(shí)，f′（x）＜0，x＞a-1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=a-1時(shí)有極小值，也是最小值，
∴f（x）_min=f（a-1）=lna-a+1≥0，…（9分）
記g（x）=lnx-x+1，則${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$，
令g′（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=1處有極大值就是最大值為g（1）=0，…（11分）
∴l(xiāng)na-a+1最大值為0，
又lna-a+1≥0，故a=1，
即當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)f（x）≥0恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．