Question

12．如圖中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a₁=1，第2個五角形數記作a₂=5，第3個五角形數記作a₃=12，第4個五角形數記作a₄=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則a_n=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．

Answer 1

分析 根據題目所給出的五角形數的前幾項，發(fā)現(xiàn)該數列的特點是，從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個新的等差數列，寫出對應的n-1個等式，然后用累加的辦法求出該數列的通項公式，然后代入項求項數．

解答 解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，
由此可知數列{a_n+1-a_n}構成以4為首項，以3為公差的等差數列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以a_n=a₁+3×$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
故答案為$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式，解答此題的關鍵是能夠由數列的前幾項分析出數列的特點，即從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個新的等差數列，本題訓練了一種求數列通項的重要方法--累加法．