Question

12．如圖中的實心點個數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作a₁=1，第2個五角形數(shù)記作a₂=5，第3個五角形數(shù)記作a₃=12，第4個五角形數(shù)記作a₄=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則a_n=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題目所給出的五角形數(shù)的前幾項，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的特點是，從第二項起，每一個數(shù)與前一個數(shù)的差構(gòu)成了一個新的等差數(shù)列，寫出對應(yīng)的n-1個等式，然后用累加的辦法求出該數(shù)列的通項公式，然后代入項求項數(shù)．

解答 解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，
由此可知數(shù)列{a_n+1-a_n}構(gòu)成以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以a_n=a₁+3×$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
故答案為$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，解答此題的關(guān)鍵是能夠由數(shù)列的前幾項分析出數(shù)列的特點，即從第二項起，每一個數(shù)與前一個數(shù)的差構(gòu)成了一個新的等差數(shù)列，本題訓(xùn)練了一種求數(shù)列通項的重要方法--累加法．