Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2ax+a²）lnx，a∈R，
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時，令F（x）=

f(x)

x+1

+x-lnx，證明：F（x）≥-e^-2，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）不存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明F（x）在（0，e^-2）上單調(diào)遞減，在（e^-2，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論；
（3）求導(dǎo)數(shù)，令g（x）=2xlnx+x-a，可得g（x）≥g（e-

1

2

）=-2e-

1

2

-a，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：當(dāng)a=0時，f（x）=x²lnx（x＞0），則f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，可得x＞e-

1

2

，令f′（x）＜0，可得0＜x＜e-

1

2

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（e-

1

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e-

1

2

）；
（2）證明：F（x）=

f(x)

x+1

+x-lnx=xlnx+x，則F′（x）=2+lnx，
∴F（x）在（0，e^-2）上單調(diào)遞減，在（e^-2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）≥F（e^-2）=-e^-2；
（3）解：∵f（x）=（x²-2ax+a²）lnx，
∴f′（x）=

x-a

x

（2xlnx+x-a），
令g（x）=2xlnx+x-a，則g′（x）=3+2lnx，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（e-

3

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e-

3

2

）；
∴g（x）≥g（e-

3

2

）=-2e-

3

2

-a．
①a≤0時，∵函數(shù)f（x）不存在極值點，∴-2e-

3

2

-a≥0，
∴a≤-2e-

3

2

；
②a＞0時，g（x）_min=-2e-

3

2

-a＜0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上存在零點，記為x₀，
∵函數(shù)f（x）不存在極值點，
∴x=a為方程f′（x）=0的重根，
∴2alna+a-a=0，∴a=1，
0＜a＜1時，x₀＜1且x₀≠a，函數(shù)f（x）的極值點為a和x₀；
a＞1時，x₀＞1且x₀≠a，函數(shù)f（x）的極值點為a和x₀；
a=1時，x₀=1，此時函數(shù)f（x）無極值．
綜上，a≤-2e-

3

2

或a=1．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．