Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|2x-1|
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥mx-

m

2

+

5

2

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由絕對(duì)值的含義，討論當(dāng)x≤-2時(shí)，當(dāng)-2＜x＜

1

2

時(shí)，當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，去掉絕對(duì)值，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得值域，進(jìn)而得到最小值；
（Ⅱ）令g（x）=mx-

m

2

+

5

2

，則g（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（

1

2

，

5

2

），畫(huà)出y=f（x）和y=g（x）的圖象，通過(guò)圖象觀察，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x≤-2時(shí)，f（x）=-x-2+1-2x=-3x-1，此時(shí)f（x）≥5；
當(dāng)-2＜x＜

1

2

時(shí)，f（x）=x+2+1-2x=3-x，此時(shí)

5

2

＜f（x）＜5；
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f（x）=x+2+2x-1=3x+1，此時(shí)f（x）≥

5

2

．
則有f（x）的值域?yàn)閇

5

2

，+∞），
即有x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最小值

5

2

；
（Ⅱ）令g（x）=mx-

m

2

+

5

2

，則g（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（

1

2

，

5

2

），
畫(huà)出y=f（x）和y=g（x）的圖象，
由圖象可得m的取值范圍為[-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的定義，考查一次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求值域，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)以及不等式恒成立問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．