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已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
x
且過點M(1,
2
).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若OA與OB垂直,求a的值.
分析:(1)由題意可知:雙曲線的焦點在x軸上,可設方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,進而得到
b
a
=
3
1
a2
-
2
b2
=1
,解出即可;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立
y=ax+1
3x2-y2=1
,消去y可化為關于x的一元二次方程,可得△>0及其根與系數的關系;由
OA
OB
,可得
OA
OB
=0
,代入解出即可.
解答:解:(1)由題意可知:雙曲線的焦點在x軸上,可設方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,
b
a
=
3
1
a2
-
2
b2
=1
,解得
a2=
1
3
b2=1
,
∴雙曲線C的方程為3x2-y2=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立
y=ax+1
3x2-y2=1
,化為(3-a2)x2-2ax-2=0,(3-a2≠0).
∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點,∴△=4a2+8(3-a2)>0,化為a2<6.
x1+x2=
2a
3-a2
x1x2=
-2
3-a2
.(*)
OA
OB
,∴
OA
OB
=0

∴x1x2+y1y2=0,又y1=ax1+1,y2=ax2+1,
∴(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,
把(*)代入上式得
-2(1+a2)
3-a2
+
2a2
3-a2
+1=0

化為a2=1.滿足△>0.
∴a=±1.
點評:本題中考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為關于一個未知數的一元二次二次方程點到△>0及其根與系數的關系、
OA
OB
?
OA
OB
=0
等基礎知識與基本技能,考查了推理能力、計算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
3
x且過點M(
6
,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m,(m≠0)與雙曲線C相交于A,B兩點,D(0,-1)且有|AD|=|BD|,試求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線C的漸近線方程是y=±
2
3
x,且經過點M(
9
2
,-1),則雙曲線C的方程是
x2
18
-
y2
8
=1
x2
18
-
y2
8
=1

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已知雙曲線C的漸近線方程為y=±
3
x
,右焦點F(c,0)到漸近線的距離為
3

(1)求雙曲線C的方程;
(2)過F作斜率為k的直線l交雙曲線于A、B兩點,線段AB的中垂線交x軸于D,求證:
|AB|
|FD|
為定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•寧波模擬)已知雙曲線c的漸近線方程為:
3
y=0
,且雙曲線c的右焦點在圓x2+y2-8x-2y+16=0上,則雙曲線c的標準方程為
x2
12
-
y2
4
=1
x2
12
-
y2
4
=1

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