Question

若函數(shù)y=e^ax+3x，x∈R有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是

a＜-3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，問題可以轉(zhuǎn)化為f′（x）=3+ae^ax=0有正根，通過討論此方程根為正根，求得參數(shù)的取值范圍．

解答：解：設(shè)f（x）=e^ax+3x，則f′（x）=3+ae^ax，
∵函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點，
∴f′（x）=3+ae^ax=0有正根，
①當(dāng)a≥0時，f′（x）=3+ae^ax＞0，
∴f′（x）=3+ae^ax=0無實數(shù)根，
∴函數(shù)y=e^ax+3x，x∈R無極值點；
②當(dāng)a＜0時，由f′（x）=3+ae^ax=0，解得x=

1

a

ln（-

3

a

），
當(dāng)x＞

1

a

ln（-

3

a

）時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜

1

a

ln（-

3

a

）時，f′（x）＜0，
∴x=

1

a

ln（-

3

a

）為函數(shù)的極值點，
∴

1

a

ln（-

3

a

）＞0，解得a＜-3，
∴實數(shù)a的取值范圍是a＜-3．
故答案為：a＜-3．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題時要注意極值點即為導(dǎo)函數(shù)等于0的根，從而可以講問題轉(zhuǎn)化為根的存在性問題進行解決．屬于中檔題．