Question

設(shè)直線l：x=ty+

p

2

與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同兩點(diǎn)A，B點(diǎn)，D為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，當(dāng)△ABD為正三角形時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得y²-2pty-p²=0，求出M，D的坐標(biāo)，利用|DM|=

3

2

|AB|，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），D（-

p

2

，m），則
直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得y²-2pty-p²=0．
則y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-p²，
從而x₁+x₂=2pt²+p，
所以線段AB的中點(diǎn)為M（pt²+

p

2

，pt），
由DM⊥AB得

pt-m

pt2+p

=-t，解得m=pt³+2pt，
從而D（-

p

2

，pt³+2pt），
|DM|=p（t²+1）

t2+1

，|AB|=|AF|+|BF|=2p（t²+1）
由|DM|=

3

2

|AB|得到p（t²+1）

t2+1

=

3

2

×2p（t²+1），
解得t=±

2

，
此時(shí)，點(diǎn)D（-

p

2

，±4

2

p）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．