Question

8．四邊形ABCD如圖所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$．
（1）求$\sqrt{3}$cosA-cosC的值；
（2）記△ABD與△BCD的面積分別是S₁與S₂，求S₁²+S₂²的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，求出BD，即可求$\sqrt{3}$cosA-cosC的值；
（2）求出S₁²+S₂²的表達式，-1＜cosC＜$\sqrt{3}$-1，即可求S₁²+S₂²的最大值．

解答 解：（1）在△ABD中，DB=$\sqrt{16-8\sqrt{3}cosA}$，
在△BCD中，DB=$\sqrt{8-8cosC}$，
所以$\sqrt{3}$cosA-cosC=1．
（2）依題意S₁²=12-12cos²A，S₂²=4-4cos²C，
所以S₁²+S₂²=12-12cos²A+4-4cos²C=-8cos²C-8cosC+12=-8（cosC+$\frac{1}{2}$）²+14，
因為2$\sqrt{3}-2＜BD＜4$，所以-8cosC∈（16-8$\sqrt{3}$，16）．
解得-1＜cosC＜$\sqrt{3}$-1，所以S₁²+S₂²≤14，當cosC=-$\frac{1}{2}$時取等號，即S₁²+S₂²的最大值為14．

點評 本題考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．