Question

1．在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為${P_i}=\frac{R_i}{N}$，其中P_i為第i題的難度，R_i為答對(duì)該題的人數(shù)，N為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題．測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：

題號(hào)	1	2	3	4	5
考前預(yù)估難度Pi	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測(cè)試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

題號(hào)	1	2	3	4	5
實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)	16	16	14	14	4

（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；
（Ⅱ）從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）試題的預(yù)估難度和實(shí)測(cè)難度之間會(huì)有偏差．設(shè)${P_i}^′$為第i題的實(shí)測(cè)難度，請(qǐng)用P_i和${P_i}^′$設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，并制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷本次測(cè)試對(duì)難度的預(yù)估是否合理．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由20人中答對(duì)第5題的人數(shù)為4人，求出第5題的實(shí)測(cè)難度為0.2，由此能估計(jì)240人中實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)．
（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．分別求出相應(yīng)概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實(shí)測(cè)難度，作為240名學(xué)生第i題的實(shí)測(cè)難度．由題設(shè)條件推導(dǎo)出該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?0人中答對(duì)第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實(shí)測(cè)難度為$\frac{4}{20}=0.2$．[（2分）]
所以，估計(jì)240人中有240×0.2=48人實(shí)測(cè)答對(duì)第5題．[（3分）]
（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．[（4分）]$P（X=0）=\frac{{C_{16}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{12}{19}$；    $P（X=1）=\frac{{C_{16}^1C_4^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{32}{95}$；   $P（X=2）=\frac{C_4^2}{{C_{20}^2}}=\frac{3}{95}$．[（7分）]X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

[（8分）]$EX=0×\frac{12}{19}+1×\frac{32}{95}+2×\frac{3}{95}=\frac{38}{95}$．[（10分）]
（Ⅲ）將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實(shí)測(cè)難度，作為240名學(xué)生第i題的實(shí)測(cè)難度．
定義統(tǒng)計(jì)量$S=\frac{1}{n}[{（{P'_{1}}-{P_1}）^2}+{（{P'_{2}}-{P_2}）^2}+…+{（{P'_{n}}-{P_n}）^2}]$，其中P_i為第i題的預(yù)估難度．并規(guī)定：若S＜0.05，則稱本次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．[（11分）]$S=\frac{1}{5}[{（0.8-0.9）^2}+{（0.8-0.8）^2}+{（0.7-0.7）^2}+{（0.7-0.6）^2}+{（0.2-0.4）^2}]$=0.012．[（12分）]
因?yàn)?nbsp;S=0.012＜0.05，
所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的．[（13分）]
注：本題答案不唯一，學(xué)生可構(gòu)造其它統(tǒng)計(jì)量和臨界值來(lái)進(jìn)行判斷．如“預(yù)估難度與實(shí)測(cè)
難度差的平方和”，“預(yù)估難度與實(shí)測(cè)難度差的絕對(duì)值的和”，“預(yù)估難度與實(shí)測(cè)難度差的絕
對(duì)值的平均值”等，學(xué)生只要言之合理即可．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．