Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+2（其中a為常數(shù)）有極大值18．
（Ⅰ）　求a的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）過原點(diǎn)的切線與函數(shù)g（x）=2bx²-7x-3-b在[-1，1]上的圖象有交點(diǎn)，試求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-3a
若a＜0則可得f′（x）≥0，不合題意
若a＞0則

可得∴a=4
（II）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）而f（x）=x³-12x+2
故，則，故切線為y=-9x
由題意得，說明函數(shù)h（x）=2bx²+2x-3-b在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)
若b=0，則函數(shù)h（x）=2x-3在[-1，1]上沒有零點(diǎn)
若a≠0，時(shí)分三種情況討論：
①方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有重根，此時(shí)△=4（2b²+6b+1）=0，解得
當(dāng)時(shí)，h（x）=0的重根
當(dāng)時(shí)，h（x）=0的重根∉[-1，1]
故當(dāng)方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有重根時(shí)，b=
②h（x）在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)且不是h（x）=0的重根
此時(shí)有h（-1）h（1）≤0∵h(yuǎn)（-1）=b-5，h（1）=b-1∴（b-5）（b-1）≤0?1≤b≤5
∵當(dāng)b=5時(shí)，方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)不同的實(shí)根
故當(dāng)方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)根且不是重根時(shí)，1≤b＜5
③方程h（x）=0在區(qū)間[-1，1]有兩個(gè)不同的實(shí)根，則

綜上可得，b的取值范圍
分析：（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)f′（x）=3x²-3a，分a＞0，f′（x）≥0，a＞0則，討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的極值，從而可求a
（II）由題意可求切線方程y=-9x，由，在[-1，1]上的圖象有交點(diǎn)，說明函數(shù)得函數(shù)h（x）=2bx²+2x-3-b在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，利用方程的實(shí)根分別問題進(jìn)行求解即可
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用方程的實(shí)根分布進(jìn)行求解．