(2013•遼寧一模)已知函數(shù)f(x)=ax2-x(a∈R,a≠0),g(x)=lnx
(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷函數(shù)f(x)-g(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,求a的取值范圍.
(3)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)是函數(shù)y=g(x)圖象上的兩點(diǎn),平行于AB的切線以P(x0,y0)為切點(diǎn),求證x1<x0<x2
分析:(1)記F(x)=f(x)-g(x)=ax2-x-lnx,可得F'(x)=
(x-1)(2x+1)
x
.再討論F'(x)的正負(fù),可得函數(shù)f(x)-g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1);
(2)由f(x)=g(x)得ax2-x=lnx,可得a=
x+lnx
x2
.設(shè)r(x)=
x+lnx
x2
,通過研究r'(x)的正負(fù),得到r(x)的極大值為r(1)=1>0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),r(x)∈(-∞,1];且當(dāng)x>1時(shí)0<r(x)<1.由此可得當(dāng)y=f(x)與y=g(x)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1);
(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點(diǎn)連線的斜率公式,得
1
x0
=
y2-y1
x2-x1
,解出x0=
x2-x1
ln
x2
x1
,利用函數(shù)y=ln(1+x)-x的單調(diào)性,得出ln
x2
x1
x2
x1
-1,從而得到x0
x2-x1
x2
x1
-1
=x1;類似的方法可證出x0=
x2-x1
-ln
x1
x2
x2-x1
x2-x1
x2
=x2.由此即可得到x1<x0<x2成立.
解答:解:(1)記F(x)=f(x)-g(x)=ax2-x-lnx,(x>0)
當(dāng)a=1時(shí),F(xiàn)'(x)=2ax-1-
1
x
=
(x-1)(2x+1)
x
,(x>0)
∵當(dāng)x∈(0,1)時(shí)F'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)F'(x)>0
∴函數(shù)f(x)-g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1);
(2)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo),即為方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)解
由f(x)=g(x),得ax2-x=lnx,可得a=
x+lnx
x2

令r(x)=
x+lnx
x2
,求導(dǎo)數(shù)得r'(x)=
(1+
1
x
)•x2-2x(x+lnx)
x4
=
1-x-2lnx
x3

∵當(dāng)x∈(0,1)時(shí)r'(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)r'(x)<0
∴函數(shù)r(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞),
可得r(x)的極大值為r(1)=1>0,
又∵r(
1
e
)=
-1+e-1
e-2
<0,當(dāng)x→0時(shí),r(x)→-∞,且當(dāng)x>1時(shí)0<r(x)<1
∴r(1)=1是函數(shù)r(x)的最大值,且函數(shù)r(x)的值域?yàn)椋?∞,1]
因此,要使y=f(x)與y=g(x)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).
(3)由已知,得
1
x0
=
y2-y1
x2-x1
,所以x0=
x2-x1
y2-y1
=
x2-x1
ln
x2
x1

∵函數(shù)y=ln(1+x)-x在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)
∴函數(shù)y=ln(1+x)-x的最小值為0,得當(dāng)x>0時(shí),ln(1+x)-x>0,可得ln(1+x)>x
因此,由ln
x2
x1
=ln(1+
x2
x1
-1)<
x2
x1
-1,故x0=
x2-x1
ln
x2
x1
x2-x1
x2
x1
-1
=x1;
同理可得x0=
x2-x1
ln
x2
x1
=
x2-x1
-ln
x1
x2
=
x2-x1
-ln(1+
x1
x2
-1)
x2-x1
x2-x1
x2
=x2
綜上所述,可得x1<x0<x2
點(diǎn)評(píng):本題給出含有字母參數(shù)的二次函數(shù)f(x)和對(duì)數(shù)函數(shù)g(x),討論它們的差函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并且討論了兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線的斜率和不等式的證明等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•遼寧一模)已知:函數(shù)f(x)=-x3+mx在(0,1)上是增函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的取值的集合A;
(2)當(dāng)m取集合A中的最小值時(shí),定義數(shù)列{an}:滿足a1=3,且an>0,an+1=
-3f(an)+9
-2
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(3)若bn=nan數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•遼寧一模)已知直線l是過點(diǎn)P(-1,2),方向向量為
n
=(-1,
3
)
的直線,圓方程ρ=2cos(θ+
π
3
)

(1)求直線l的參數(shù)方程
(2)設(shè)直線l與圓相交于M,N兩點(diǎn),求|PM|•|PN|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•遼寧一模)命題“?x∈R,使x2+ax-4a<0為假命題”是“-16≤a≤0”的( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•遼寧一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F,直線x=
a2
c
與其漸近線交于A,B兩點(diǎn),且△ABF為鈍角三角形,則雙曲線離心率的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•遼寧一模)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心,∠A=θ,若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
,則m=
sinθ
sinθ
.(用θ表示)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案