Question

（2013•遼寧一模）已知函數(shù)f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）-g（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，求a的取值范圍．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）圖象上的兩點(diǎn)，平行于AB的切線以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)，求證x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）記F（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，可得F'（x）=

(x-1)(2x+1)

x

．再討論F'（x）的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（2）由f（x）=g（x）得ax²-x=lnx，可得a=

x+lnx

x2

．設(shè)r（x）=

x+lnx

x2

，通過研究r'（x）的正負(fù)，得到r（x）的極大值為r（1）=1＞0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，r（x）∈（-∞，1]；且當(dāng)x＞1時(shí)0＜r（x）＜1．由此可得當(dāng)y=f（x）與y=g（x）圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）；
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點(diǎn)連線的斜率公式，得

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，解出x₀=

x2-x1

ln x2 x1

，利用函數(shù)y=ln（1+x）-x的單調(diào)性，得出ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，從而得到x₀＞

x2-x1

x2 x1 -1

=x₁；類似的方法可證出x₀=

x2-x1

-ln x1 x2

＜

x2-x1

x2-x1 x2

=x₂．由此即可得到x₁＜x₀＜x₂成立．

解答：解：（1）記F（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，（x＞0）
當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)'（x）=2ax-1-

1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

，（x＞0）
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)F'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)F'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（2）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即為方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)解
由f（x）=g（x），得ax²-x=lnx，可得a=

x+lnx

x2

令r（x）=

x+lnx

x2

，求導(dǎo)數(shù)得r'（x）=

(1+ 1 x )•x2-2x(x+lnx)

x4

=

1-x-2lnx

x3

∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)r'（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)r'（x）＜0
∴函數(shù)r（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞），
可得r（x）的極大值為r（1）=1＞0，
又∵r（

1

e

）=

-1+e-1

e-2

＜0，當(dāng)x→0時(shí)，r（x）→-∞，且當(dāng)x＞1時(shí)0＜r（x）＜1
∴r（1）=1是函數(shù)r（x）的最大值，且函數(shù)r（x）的值域?yàn)椋?∞，1]
因此，要使y=f（x）與y=g（x）圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．
（3）由已知，得

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，所以x₀=

x2-x1

y2-y1

=

x2-x1

ln x2 x1

；
∵函數(shù)y=ln（1+x）-x在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
∴函數(shù)y=ln（1+x）-x的最小值為0，得當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x）-x＞0，可得ln（1+x）＞x
因此，由ln

x2

x1

=ln（1+

x2

x1

-1）＜

x2

x1

-1，故x₀=

x2-x1

ln x2 x1

＞

x2-x1

x2 x1 -1

=x₁；
同理可得x₀=

x2-x1

ln x2 x1

=

x2-x1

-ln x1 x2

=

x2-x1

-ln(1+ x1 x2 -1)

＜

x2-x1

x2-x1 x2

=x₂
綜上所述，可得x₁＜x₀＜x₂．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的二次函數(shù)f（x）和對(duì)數(shù)函數(shù)g（x），討論它們的差函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并且討論了兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線的斜率和不等式的證明等知識(shí)，屬于中檔題．