Question

2．某軍區(qū)老干部休養(yǎng)所（簡稱軍干所）為紀(jì)念抗戰(zhàn)勝利70周年，舉行老干部捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品教育下一代的活動，隨機抽取a名老干部為樣本，得到這些老干部捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品的個數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布表：

分組	頻數(shù)	頻率
[1，5）	5	0.2
[6，10）	15	m
[11，15）	n	P
[16，20）	1	0.04
合計	a	1

（1）求出表中m，n，p，a的值；
（2）軍干所決定對捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品的老干部進(jìn)行表彰，對捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品數(shù)在[16，20]區(qū)間的老干部發(fā)放價值400元的獎品，對捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品數(shù)在[11，15]區(qū)間的老干部發(fā)放價值300元的獎品，對捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品數(shù)在[6，10]區(qū)間的老干部發(fā)放價值200元的獎品，對捐贈抗戰(zhàn)紀(jì)念品數(shù)在[1，5]區(qū)間的老干部發(fā)放價100元的獎品，在所取樣本中，任意抽取2人，并設(shè)x為此二人所獲得獎品價值之差的絕對值，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布表，利用頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出表中m，n，p，a的值．
（2）由已知得X的可能取值為0，100，200，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出x的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）由頻率分布表，得$\frac{5}{a}=0.2$，解得a=25，
∴m=$\frac{15}{25}$=0.6，n=25-5-15-1=4，P=$\frac{4}{25}$=0.16．
（2）由已知得X的可能取值為0，100，200，300，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{15}^{2}+{C}_{5}^{2}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{121}{300}$，
P（X=100）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{139}{300}$，
P（X=200）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{15}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{35}{300}$，
P（X=300）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{5}{300}$，
∴X的分布列為：

X	0	100	200	300
P	$\frac{121}{300}$	$\frac{139}{300}$	$\frac{35}{300}$	$\frac{5}{300}$

EX=$0×\frac{121}{300}+100×\frac{139}{300}$+200×$\frac{35}{300}+300×\frac{5}{300}$=$\frac{224}{3}$．

點評 本題考查頻率分布列的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合知識的合理運用．