Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=-x²+ax．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）為單調遞減函數；
①直接寫出a的范圍（不必證明）；
②若對任意實數m，f（m-1）+f（m²+t）＜0恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當x＜0時，-x＞0，又因為f（x）為奇函數，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x²+2x）=x²-2x，
所以f（x）=．
（2）①當a≤0時，對稱軸，所以f（x）=-x²+ax在[0，+∞）上單調遞減，
由于奇函數關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同，所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
所以a≤0時，f（x）在R上為單調遞減函數，
當a＞0時，f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）上遞減，不合題意，
所以函數f（x）為單調減函數時，a的范圍為a≤0．
②f（m-1）+f（m²+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m²+t），
又f（x）是奇函數，∴f（m-1）＜f（-t-m²），
又因為f（x）為R上的單調遞減函數，所以m-1＞-t-m²恒成立，
所以恒成立，所以．
即實數t的范圍為：（，+∞）．
分析：（1）當x＜0時，-x＞0，由已知表達式可求f（-x），根據奇函數性質可求f（x）；
（2）①借助二次函數圖象的特征及奇函數性質可求a的范圍；
②利用奇函數性質及單調遞減性質可去掉不等式中的符號“f”，進而可轉化為函數最值問題處理．
點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查不等式恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力．