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【題目】已知函數f(x)=2lnx﹣2mx+x2(m>0).

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)當時,若函數f(x)的導函數f′(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,其橫坐標分別為x1,x2(x1<x2),線段AB的中點的橫坐標為x0,且x1,x2恰為函數h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點.求證(x1﹣x2)h'(x0)≥+ln2.

【答案】(1)當0<m≤2時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增;當m>2時,f(x)在內單調遞減,在,內單調遞增; (2)見解析.

【解析】

(1)由題易知,然后將其看成二次函數,討論根與系數之間的關系和判別式對其進行分析,得出單調性;

(2)求出函數的導函數,表示出,令,由,根據函數的單調性證明即可.

(1)由于f(x)=2lnx﹣2mx+x2的定義域為(0,+∞),

對于方程x2﹣mx+1=0,其判別式△=m2﹣4.

當m2﹣4≤0,即0<m≤2時,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)內單調遞增.

當m2﹣4>0,即m>2,方程x2﹣mx+1=0恰有兩個不相等是實根,

令f'(x)>0,得,此時f(x)單調遞增;

令f'(x)<0,得,此時f(x)單調遞減.

綜上所述,當0<m≤2時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增;

當m>2時,f(x)在內單調遞減,

,內單調遞增.

(2)證明:由(1)知, ,

所以f'(x)的兩根x1,x2即為方程x2﹣mx+1=0的兩根.

因為,所以△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1.

又因為x1,x2為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點,

所以

兩式相減得,

.而

所以(x1﹣x2)h'(x0)=

,由,

因為x1x2=1,兩邊同時除以x1x2,得

因為,故,解得 或t≥2,所以

,所以,

則y=G(t)在上是減函數,所以,

即y=(x1﹣x2)h'(x0)的最小值為

所以

練習冊系列答案
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B. 與2015年相比,2018年二本達線人數增加了

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年齡x

28

32

38

42

48

52

58

62

收縮壓單位

114

118

122

127

129

135

140

147

其中:,,

請畫出上表數據的散點圖;

請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程;的值精確到

若規(guī)定,一個人的收縮壓為標準值的倍,則為血壓正常人群;收縮壓為標準值的倍,則為輕度高血壓人群;收縮壓為標準值的倍,則為中度高血壓人群;收縮壓為標準值的倍及以上,則為高度高血壓人群一位收縮壓為180mmHg70歲的老人,屬于哪類人群?

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