【題目】已知函數f(x)=2lnx﹣2mx+x2(m>0).
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)當時,若函數f(x)的導函數f′(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,其橫坐標分別為x1,x2(x1<x2),線段AB的中點的橫坐標為x0,且x1,x2恰為函數h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點.求證(x1﹣x2)h'(x0)≥+ln2.
【答案】(1)當0<m≤2時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增;當m>2時,f(x)在內單調遞減,在,內單調遞增; (2)見解析.
【解析】
(1)由題易知,然后將其看成二次函數,討論根與系數之間的關系和判別式對其進行分析,得出單調性;
(2)求出函數的導函數,表示出,令,由,根據函數的單調性證明即可.
(1)由于f(x)=2lnx﹣2mx+x2的定義域為(0,+∞), .
對于方程x2﹣mx+1=0,其判別式△=m2﹣4.
當m2﹣4≤0,即0<m≤2時,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)內單調遞增.
當m2﹣4>0,即m>2,方程x2﹣mx+1=0恰有兩個不相等是實根,
令f'(x)>0,得或,此時f(x)單調遞增;
令f'(x)<0,得,此時f(x)單調遞減.
綜上所述,當0<m≤2時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增;
當m>2時,f(x)在內單調遞減,
在,內單調遞增.
(2)證明:由(1)知, ,
所以f'(x)的兩根x1,x2即為方程x2﹣mx+1=0的兩根.
因為,所以△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1.
又因為x1,x2為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點,
所以,
兩式相減得,
得 .而,
所以(x1﹣x2)h'(x0)=
=
令,由得,
因為x1x2=1,兩邊同時除以x1x2,得,
因為,故,解得 或t≥2,所以.
設 ,所以,
則y=G(t)在上是減函數,所以,
即y=(x1﹣x2)h'(x0)的最小值為.
所以 .
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【題目】某游戲公司對今年新開發(fā)的一些游戲進行評測,為了了解玩家對游戲的體驗感,研究人員隨機調查了300名玩家,對他們的游戲體驗感進行測評,并將所得數據統(tǒng)計如圖所示,其中.
(1)求這300名玩家測評分數的平均數;
(2)由于該公司近年來生產的游戲體驗感較差,公司計劃聘請3位游戲專家對游戲進行初測,如果3人中有2人或3人認為游戲需要改進,則公司將回收該款游戲進行改進;若3人中僅1人認為游戲需要改進,則公司將另外聘請2位專家二測,二測時,2人中至少有1人認為游戲需要改進的話,公司則將對該款游戲進行回收改進.已知該公司每款游戲被每位專家認為需要改進的概率為,且每款游戲之間改進與否相互獨立.
(i)對該公司的任意一款游戲進行檢測,求該款游戲需要改進的概率;
(ii)每款游戲聘請專家測試的費用均為300元/人,今年所有游戲的研發(fā)總費用為50萬元,現對該公司今年研發(fā)的600款游戲都進行檢測,假設公司的預算為110萬元,判斷這600款游戲所需的最高費用是否超過預算,并通過計算說明.
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【題目】某中學2018年的高考考生人數是2015年高考考生人數的倍,為了更好地對比該校考生的升學情況,統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況,得到如圖柱狀圖:
則下列結論正確的是
A. 與2015年相比,2018年一本達線人數減少
B. 與2015年相比,2018年二本達線人數增加了倍
C. 2015年與2018年藝體達線人數相同
D. 與2015年相比,2018年不上線的人數有所增加
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【題目】經調查,3個成年人中就有一個高血壓,那么什么是高血壓?血壓多少是正常的?經國際衛(wèi)生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調查,得出隨年齡變化,收縮壓的正常值變化情況如下表:
年齡x | 28 | 32 | 38 | 42 | 48 | 52 | 58 | 62 |
收縮壓單位 | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
其中:,,
請畫出上表數據的散點圖;
請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程;的值精確到
若規(guī)定,一個人的收縮壓為標準值的倍,則為血壓正常人群;收縮壓為標準值的倍,則為輕度高血壓人群;收縮壓為標準值的倍,則為中度高血壓人群;收縮壓為標準值的倍及以上,則為高度高血壓人群一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人,屬于哪類人群?
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【題目】已知函數(其中為自然對數的底數).
(1)若,求函數在區(qū)間上的最大值;
(2)若,關于的方程有且僅有一個根, 求實數的取值范圍;
(3)若對任意,不等式均成立, 求實數的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在三棱柱中,平面是線段上的動點,是線段上的中點.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,且直線所成角的余弦值為,試指出點在線段上的位置,并求三棱錐的體積.
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