Question

已知A、B、C是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積；

(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(I) .

(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形. 

【解析】

試題分析：

思路分析：(I)根據(jù)四邊形OABC為菱形, AC與OB相互垂直平分. 注意確定.

(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.  因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過(guò)原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為.

由消去應(yīng)用韋達(dá)定理確定AC的中點(diǎn)為M(,).

得到直線OB的斜率為. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100100464583995715/SYS201310010047506034929721_DA.files/image008.png">,所以AC與OB不垂直.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形. 

解：(I)橢圓W:的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1,),代入橢圓方程得,即.  所以菱形OABC的面積是.

(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.  因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過(guò)原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為.

由消去并整理得.

設(shè)A,C,則,.

所以AC的中點(diǎn)為M(,).

因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),所以直線OB的斜率為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100100464583995715/SYS201310010047506034929721_DA.files/image008.png">,所以AC與OB不垂直.  所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.

所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形. 

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，菱形的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。