Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則f（sinα）與f（cosβ）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、f（sinα）＞f（cosβ）
• B、f（sinα）＜f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、f（sinα）與f（cosβ）的大小關(guān)系不確定

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[-3，-2]上是減函數(shù)，得到f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，在[0，1]上是增函數(shù)，再由α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，得到α＞90°-β，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，從而得到f（sinα）＞f（cosβ）．

解答： 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∵f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，
∴在[2，3]上是增函數(shù)，∴在[0，1]上是增函數(shù)，
∵α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角．
∴α+β＞90°，α＞90°-β，兩邊同取正弦得：sinα＞sin（90°-β）=cosβ，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選：A．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強，涉及的知識點較多．屬于中檔題．