Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1-a_n．
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n+

n(n+1)

2

＞120成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由數(shù)列遞推式構(gòu)造出等比數(shù)列{a_n+1-a_n}，即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到an+1-an=2n，累加后求出a_n的通項(xiàng)公式，代入na_n后
利用分組求和和錯(cuò)位相減法求和得到數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為S_n，代入S_n+

n(n+1)

2

＞120得到該式成立的正整數(shù)n的最小值．

解答： （1）證明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2a_n-1+1（n≥2），
兩式相減得：（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）．
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n=2b_n-1．
又b₁=a₂-a₁=（2a₁+1）-a₁=a₁+1=2．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得bn=2n，即an+1-an=2n，
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-an-1)=1+2+22+…2n-1=2n-1，
∴nan=n•2n-n，
∴Sn=(1•21-1)+(2•22-1)+…+(n•2n-n)=(1•21+2•22+…+n•2n)-

n(n+1)

2

，
令T=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ ①，
則2T=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹ ②，
①-②得：-T=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
∴T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2-

n(n+1)

2

，
由S_n+

n(n+1)

2

＞120，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞120，
即（n-1）•2ⁿ⁺¹＞118，
∵當(dāng)n∈N₊時(shí)，（n-1）•2ⁿ⁺¹單調(diào)遞增，
∴正整數(shù)n的最小取值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了分組法和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，是中高檔題．