Question

3．已知函數(shù)f（x）=cos（?x-$\frac{π}{3}$）-sin（$\frac{π}{2}$-?x）．
（I）求f（x）的最小值
（II）若函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)相鄰的對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，求其單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（$ωx-\frac{π}{6}$），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解函數(shù)的最小值．
（II）由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值，從而可求函數(shù)解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（I）∵$f（x）=\frac{1}{2}cosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-cosωx=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{1}{2}sinωx=sin（ωx-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小值為-1．
（II）∵y=f（x）圖象的兩個(gè)相鄰的對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$f（x）的周期為π，即\frac{2π}{ω}=π，解得ω=2$，
當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}時(shí)圖象單調(diào)遞增，此時(shí)kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，
所以$f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．