Question

11．已知f（x）是一次函數(shù)，且f（x+1）=f（x）+1，又f（0）=1，求：
（1）函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）g（x）=f[（x+1）²]+f（x+1）+1的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法．利用f（0）=1，f（1）=2進(jìn)行求解即可．
（2）求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=kx+b，
∵f（0）=1，∴b=1，
即f（x）=kx+1，
∵f（x+1）=f（x）+1，
∴f（1）=f（0）+1=1+1=2，
即f（1）=k+1=2，得k=1，
即函數(shù)f（x）的表達(dá)式f（x）=x+1；
（2）∵g（x）=f[（x+1）²]+f（x+1）+1=（x+1）²+1+（x+1）+1+1=x²+3x+5，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸x=-$\frac{3}{2}$，
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{3}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．