Question

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長(zhǎng)，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），（x₂，y₂）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，以及橢圓的第二定義的運(yùn)用來證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則到直線的距離為

，即，                 （2分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071311421238557726/SYS201307131143097490488344_DA.files/image003.png">在圓內(nèi)，所以，故；                 （4分）

因?yàn)閳A的半徑等于橢圓的短半軸長(zhǎng)，所以，

橢圓方程為.                         （6分）

（Ⅱ）因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相切，是切點(diǎn)，故

為直角三角形，所以，

又，可得，                    （7分）

，又，可得，        （9分）

所以，同理可得，            （11分）

所以，即.      （12分）

考點(diǎn)：橢圓的方程以及定義

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了橢圓的方程的求解以及焦半徑公式的運(yùn)用，屬于中檔題。