Question

7．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f′（x）；當x≥0時，恒有$\frac{x}{2}$f′（x）+f（-x）≤0，若g（x）=x²f（x），則不等式g（x）＜g（1-2x）的解集為（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則g（x）也為偶函數(shù)，利用導數(shù)可以判斷g（x）在[0，+∞）為減函數(shù)，則不等式g（x）＜g（1-2x）轉化為|x|＞|1-2x|，解得即可

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x），
∴f（-x）=f（x）
∵x≥0時，恒有$\frac{x}{2}$f′（x）+f（-x）≤0，
∴x²f′（x）+2xf（x）≤0，
∵g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）≤0，
∴g（x）在[0，+∞）為減函數(shù)，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
∵g（x）＜g（1-2x）
∴|x|＞|1-2x|，
即（x-1）（3x-1）＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故選：A

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題