Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí),求在點(diǎn)處的切線方程;

（2）若對(duì)于任意的,恒有成立,求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，對(duì)求導(dǎo)，是切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是切線的斜率，利用點(diǎn)斜式列出切線方程；第二問，先將對(duì)于任意的,恒有成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，利用的正負(fù)，判斷的單調(diào)性，從而確定，繼續(xù)將題目轉(zhuǎn)化為恒成立，通過整理，需證明的取值范圍，從而解出a的取值范圍．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，∴，

∵，

∴在點(diǎn)處的切線方程為：．

（Ⅱ）∵ ∴

令,則

∴在上遞增

∵,當(dāng)時(shí), ∴存在,使,

且在上遞減 ,在上遞增

∵ ∴,即

∵對(duì)于任意的,恒有成立

∴ ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴

令,而,當(dāng)時(shí),

∴存在,使

∵在上遞增,∴

∴

∵在上遞增 ∴

∴ ∴．