Question

一個棱錐的底面是邊長為a的正三角形，它的一個側(cè)面也是正三角形，且這個側(cè)面與底面垂直，求這個棱錐的體積和全面積．

Answer 1

分析：棱錐的側(cè)面積等于三個側(cè)面的面積的和，體積利用V=

1

3

S_△BCD×AE即可求解．

解答：解：如圖所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC與△BCD均為邊長為a的正三角形，
取BC中點E，連接AE，則AE⊥平面BCD，
故棱錐A-BCD的高為AE，△BCD的面積為

3

4

a²，AE=

3

2

a，
∴這個棱錐的體積V_A-BCD=

1

3

•

3

4

a²•

3

2

a=

1

8

a³．
連接DE，∵AE⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AE⊥DE，
在Rt△AED中，AE=ED=

3

2

a，
∴AD=

2

•

3

2

a=

6

2

a．
取AD中點F，連接CF，則CF⊥AD．
在Rt△CDF中，DF=

1

2

•

6

2

a=

6

4

a，
∴CF=

10 a

4

a．
∴S_△ACD=

1

2

AD•CF=

1

2

×

6

2

a×

10 a

4

a=

15

8

a²．
∵△ABD≌△ACD，S_△ABD=

15

8

a²．
故S_全面積=

3

4

a²+

3

4

a²+2×

15

8

a²=

2 3 + 15

4

a²．

點評：本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查空間想象能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．