【題目】己知函數(shù)， ．

（I）求函數(shù)上零點的個數(shù)；

（II）設，若函數(shù)在上是增函數(shù)．

求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）零點個數(shù)為 （II）的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）先求得， 時， 恒成立，可證明時， ，可得在上單調遞減，根據(jù)零點定理可得結果；（2）化簡為分段函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，討論兩種情況，分別分離參數(shù)求最值即可求得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù) ,

求導，得，

當時， 恒成立，

當時， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點存在性定理及其單調性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函數(shù)在上零點的個數(shù)為1．

（II）由（Ⅰ）知：當時， ＞0，當時， ＜0．

∴當時， =

求導，得

由于函數(shù)在上是增函數(shù)， 故在， 上恒成立.

①當時， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則，，

所以， 在上單調遞減，在上單調遞增，

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當時， ，

當時， 在上恒成立，

綜合①②知，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)．

故實數(shù)的取值范圍是．

練習冊系列答案
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B.2
C.3
D.4

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