Question

13．記定義在R上的函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（x₀）（b-a）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的“中值點(diǎn)”．那么函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間[-2，2]上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)函數(shù)f（x）的“中值點(diǎn)”為x₀，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得f′（x₀）=1，解方程即可得到所求個(gè)數(shù)．

解答 解：設(shè)函數(shù)f（x）的“中值點(diǎn)”為x₀，
f（x）=x³-3x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-3，
由題意可得f′（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{f（2）-f（-2）}{4}$
=$\frac{8-6-（-8+6）}{4}$=1，
即3x${\;}_{0}^{2}$-3=1，解得x₀=±$\frac{2}{\sqrt{3}}$=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$∈[-2，2]，
故函數(shù)y=x³-3x在區(qū)間[-2，2]上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．