Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，若f（2a-3）+f（a²）≤0，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-3，1]
• B． [-1，3]
• C． [1，3]
• D． （-∞，-3]∪[1，+∞]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得f（x）=e^x-e^-x為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可以將f（2a-3）+f（a²）≤0轉(zhuǎn)化為2a-3≤-a²即a²+2a-3≤0，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）=e^x-e^-x，其定義域?yàn)镽，且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又由f′（x）=e^x+e^-x，則f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)f（x）=e^x-e^-x在R上為增函數(shù)，
則f（2a-3）+f（a²）≤0⇒f（2a-3）≤-f（a²）⇒f（2a-3）≤f（-a²）⇒2a-3≤-a²⇒a²+2a-3≤0，
解可得：-3≤a≤1，
即a的取值范圍是[-3，1]；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性．