Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}滿的前n項和為S_n，且S_n+a_n=2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_{n+1}}{{log}_2}{a_{n+2}}}}$，求數(shù)列{$\frac{1}{{n{b_n}}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1時，S₁+a₁=2，求出a₁=1，n≥2時，S_n+a_n-S_n-1-a_n-1=0，求出$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由已知推導(dǎo)出$\frac{1}{n_{n}}$=n+1，由此能求出數(shù)列{$\frac{1}{{n{b_n}}}$}的前n項和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿的前n項和為S_n，且S_n+a_n=2，n∈N^*．
∴n=1時，S₁+a₁=2，解得a₁=1，
n≥2時，S_n+a_n-S_n-1-a_n-1=0，
∴2a_n=a_n-1，∵a₁=1≠0，∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
∴${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_{n+1}}{{log}_2}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}（\frac{1}{2}）^{n}•lo{g}_{2}（\frac{1}{2}）^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n_{n}}$=n+1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{n{b_n}}}$}的前n項和：
T_n=2+3+4+…n+（n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．