【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=1,E為BC中點(diǎn).
(1)求證:C1D⊥D1E;
(2)若二面角B1﹣AE﹣D1的大小為90°,求AD的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,

設(shè)AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,1,0),C(0,1,0),

B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E( ,1,0),

=(0,﹣1,﹣1), =( ,1,﹣1),

=0,

∴C1D⊥D1E.


(2)解:設(shè)平面AD1E的法向量為 =(x,y,z),

=(﹣ ,1,0), =(﹣a,0,1),

,取x=2,得平面AD1E的一個(gè)法向量為 =(2,a,2a),

設(shè)平面B1AE的法向量為 =(x′,y′,z′),

=(﹣ ,1,0), =(0,1,1),

,取x′=2,得 =(2,a,﹣a).

∵二面角B1AED1的大小為90°,

,∴ =4+a2﹣2a2=0,

∵a>0,∴a=2,即AD=2


【解析】(1)以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,利用向量法能證明C1D⊥D1E.(2)求出平面AD1E的法向量和平面B1AE的法向量,由二面角B1AED1的大小為90°,能求出AD的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖, 直徑, 所在的平面, 是圓周上不同于 的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明:平面 平面
(2)若 ,且當(dāng)二面角 的正切值為 時(shí),求直線 與平面 所成的角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線l1mx8yn0l22xmy10互相平行,l1l2之間的距離為 ,求直線l1的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)= x3﹣(1+ )x2+2bx在區(qū)間[3,5]上不是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上的極大值為(
A. b2 b3
B. b﹣
C.0
D.2b﹣

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣2x+ex ,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABCDA1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 (  )

A. BD∥平面CB1D1 B. AC1BD

C. AC1⊥平面CB1D1 D. 異面直線ADCB1所成的角為60°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a+1)x+lnx(a∈R) (Ⅰ)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)+2ax,若g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,一個(gè)矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路,已知矩形花園長(zhǎng)AD=5m,寬AB=3m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點(diǎn)D,問如何在BC上找到一點(diǎn)M,使得兩條小路AC與DM相互垂直?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=﹣f(x),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=﹣2x , 則f(log210)等于

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案