Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x+1，g(x)=(

1

2

)x-m，若對(duì)?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

m≥

5

4

．

Answer 1

分析：要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求最值，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
函數(shù)f（x）=x³-3x+1．求導(dǎo)得f′（x）=3x²-3x=3（x-1）（x+1）
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上，f′（x）＜0，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，
在[1，3]上，f′（x）＞0，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為f（1）=-1，
∵g(x)=(

1

2

)x-m在[1，2]上是減函數(shù)，∴g（x₂）_min=g（2）=

1

4

-m，
∴-1≥

1

4

-m，即m≥

5

4

．
故答案為：m≥

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解決的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行處理．，考查學(xué)生邏輯思維，分析解決問(wèn)題的能力．要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．