Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）若F（x）=$\frac{2f（x）}{x}$，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若G（x）=[f（x）]²-kx在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$\frac{2}{x}$lnx-k≤0在（0，+∞）上恒成立，記H（x）=$\frac{2}{x}$lnx-k，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)H（x）的單調(diào)性，最后得到：為使G'（x）=H（x）≤0在（0，+∞）上恒成立必須且只需$\frac{2}{e}$-k≤0恒成立，列出不等式求出k的范圍．

解答 解：（1）$F'（x）=\frac{2（1-lnx）}{x^2}$，由F'（x）=0得x=e，
∵當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，
（2）∵G（x）=（lnx）²-kx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴G′（x）=$\frac{2lnx}{x}$-k，
依題意G′（x）-$\frac{2lnx}{x}$-k≤0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
只需k≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，
由（1）知$F（x）=\frac{2lnx}{x}$，F(xiàn)（x）_max=F（e）=$\frac{2}{e}$，
所以k的取值范圍是[$\frac{2}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減性進(jìn)而求得函數(shù)的極值，是一道綜合題．