Question

在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，求得a，b和c關(guān)系式，代入余弦定理中求得cosA的值，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c關(guān)系式利用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的正弦，與sinB+sinC=1聯(lián)立求得sinB和sinC的值，進(jìn)而根據(jù)C，B的范圍推斷出B=C，可知△ABC是等腰的鈍角三角形．
解答：解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c
即a²=b²+c²+bc
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC．
變形得=（sinB+sinC）-sinBsinC
又sinB+sinC=1，得sinBsinC=
上述兩式聯(lián)立得
因?yàn)?°＜B＜90°，0°＜C＜90°，
故B=C=30°
所以△ABC是等腰的鈍角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．在解三角形問(wèn)題中一般借助正弦定理和余弦定理邊化角，角化邊達(dá)到解題的目的．